Egész számok

Az egész számok bevezetése, műveletek

Minden egész szám felírható két természetes szám különbségeként, ezért az egész számokat le tudjuk írni természetes számokból álló számpárokkal: az $a-b$ különbséget az $(a,b)\in \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0$ számpárral adjuk meg. Ennek alapján definiáljuk az összeadás és a szorzás műveletét, valamint a különbségek egyenlőségét leíró ekvivalenciarelációt.

   Az $A:=\mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0$ halmazon definiáljuk az összeadás és a szorzás műveletét, valamint a $\sim$ relációt a következőképpen:
   Az $A:=\mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0$ halmaz kommutatív egységelemes félgyűrű a fent definiált összeadás és szorzás műveletével.
   A kommutativitás mindkét műveletnél nyilvánvaló, akárcsak az összeadás asszociativitása.
A szorzás asszociatív. $$\begin{align*} \bigl( (a,b)\cdot(c,d) \bigr) \cdot (e,f) &= (ac+bd,ad+bc) \cdot (e,f) = \\ &= \bigl((ac+bd)e+(ad+bc)f,\ (ac+bd)f+(ad+bc)e\bigr) = \\ &= (ace+bde+adf+bcf,\ acf+bdf+ade+bce) \end{align*}$$ $$\begin{align*} (a,b) \cdot \bigl( (c,d)\cdot(e,f) \bigr) &= (a,b) \cdot (ce+df,cf+de) = \\ &= \bigl(a(ce+df)+b(cf+de),\ a(cf+de)+b(ce+df)\bigr) = \\ &= (ace+adf+bcf+bde,\ acf+ade+bce+bdf) \end{align*}$$ (Itt, és a továbbiakban is $a,b,c,d,e,f$ tetszőleges természetes számokat jelölnek.)
Additív egységelem: $(0,0)$. $$(a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)$$
Multiplikatív egységelem: $(1,0)$. $$(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot1+b\cdot0+a\cdot0+b\cdot1)=(a,b)$$
A szorzás disztributív az összeadásra. Mivel a szorzás kommutatív, elég az egyik oldali disztributivitást ellnőrizni. $$\begin{align*} \bigl( (a,b)+(c,d) \bigr) \cdot (e,f) &= (a+c,b+d) \cdot (e,f) = \\ &= \bigl((a+c)e+(b+d)f,\ (a+c)f+(b+d)e\bigr) = \\ &= (ae+ce+bf+df,\ af+cf+be+de) \end{align*}$$ $$\begin{align*} (a,b)\cdot(e,f) + (c,d)\cdot(e,f) &= (ae+bf,af+be) + (ce+df,cf+de) = \\ &= (ae+bf+ce+df,\ af+be+cf+de) \end{align*}$$
   A $\sim$ reláció kongruenciája az $(A;+,\cdot)$ félgyűrűnek.
   Öt dolgot kell ellenőrizni.
reflexivitás $(a,b)\sim(a,b)\iff a+b=b+a$, és ez nyilván teljesül.
szimmetria $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$   és   $(c,d)\sim(a,b)\iff c+b=d+a$. Az elsőből nyilván következik a második (sőt, ekvivalensek).
tranzitivitás Tfh. $(a,b)\sim(c,d)$ és $(c,d)\sim(e,f)$ (cél: $(a,b)\sim(e,f)$). Ekkor $a+d=b+c$ és $c+f=d+e$. Adjuk össze a két egyenlőséget: $a+c+d+f=b+c+d+e$. Mindkét oldalból kivonva (c+d)-t A természetes számok összeadásának kancellativitását használva kapjuk, hogy $a+f=b+e$, ami épp azt jelenti, hogy $(a,b)\sim(e,f)$.
kompatibilitás az összeadással Tfh. $(a,b)\sim(c,d)$, azaz $a+d=b+c$. Azt kell belátnunk, hogy $(a,b)+(e,f)\sim(c,d)+(e,f)$, vagyis $(a+e,b+f)\sim(c+e,d+f)$. Ez utóbbi azzal ekvivalens, hogy $a+e+d+f=b+f+c+e$. Ez pedig valóban következik az $a+d=b+c$ egyenlőségből (ugye?).
kompatibilitás a szorzással Tfh. $(a,b)\sim(c,d)$, azaz $a+d=b+c$. Azt kell belátnunk, hogy $(a,b)\cdot(e,f)\sim(c,d)\cdot(e,f)$, vagyis $(ae+bf,af+be)\sim(ce+df,cf+de)$. Ez utóbbi azzal ekvivalens, hogy $ae+bf+cf+de=af+be+ce+df$, azaz, kiemelések után, $(a+d)e+(b+c)f=(b+c)e+(a+d)f$. Ez pedig valóban következik az $a+d=b+c$ egyenlőségből (hogyan?).

A következő tételben megmutatjuk, hogy az $(A;+,\cdot)$ félgyűrű $\sim$ szerinti faktoralgebrája integritástartomány (a fő „attrakció” persze az, hogy itt már mindenkinek van additív inverze, nem úgy, mint a természetes számoknál). Az $(A;+,\cdot)/\!\sim$ faktorstruktúrát nevezzük majd az egész számok gyűrűjének. Ennek elemei $\sim$ szerinti ekvivalenciaosztályok: az $(a,b)\in A$ elem $\sim$ szerinti ekvivalenciaosztályát $\overline{(a,b)}$ fogja jelölni.

   Az $(A;+,\cdot)/\!\sim$ faktorstruktúra integritástartomány.
   Nézzük sorra az integritástartomány definíciójában megkövetelt műveleti tulajdonságokat.
asszociativitás és kommutativitás Az összeadás és a szorzás asszociativitása és kommutativitása „öröklődik” az $(A;+,\cdot)$ struktúráról a faktorstruktúrára.
egységelemek Az egységelemek is öröklődnek: az additív egységelem $\overline{(0,0)}$, a multiplikatív egységelem pedig $\overline{(1,0)}$ lesz.

A későbbiekhez hasznos lesz megfigyelni, hogy milyen számpárok alkotják a $\overline{(0,0)}$ halmazt (a $\sim$ reláció definíciójából ezt egyszerű ellenőrizni):

$\overline{(0,0)}=\bigl\{ (a,a) : a \in \mathbb{N}_0 \bigr\}.\qquad\qquad(\ast)$

additív inverzek Az $\overline{(a,b)}$ elem additív inverze $\overline{(b,a)}$: $$\overline{(a,b)}+\overline{(b,a)}=\overline{(a,b)+(b,a)}=\overline{(a+b,b+a)}\overset{(\ast)}{=}\overline{(0,0)}.$$
a szorzás disztributív az összeadásra A disztributivitás is „öröklődik” az $(A;+,\cdot)$ félgyűrűről a faktoralgebrára.
zérusosztómentesség Tfh. $\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$, azaz $\overline{(ac+bd,ad+bc)}=\overline{(0,0)}$. A $(\ast)$ megfigyelés szerint ez azt jelenti, hogy $ac+bd=ad+bc$. Kihasználva a természetes számok rendezésnek dichotómiáját, három esetet különböztethetünk meg $a$ és $b$ viszonya szerint.
$a \gt b$ Ekkor létezik olyan $x \in \mathbb{N}$, amelyre $a=b+x$. Helyettesítsük ezt be a fent levezetett $ac+bd=ad+bc$ egyenlőségbe, és használjuk a természetes számok összeadásának kancellativitását: $$ ac+bd=ad+bc \iff (b+x)c+bd=(b+x)d+bc \iff bc+xc+bd=bd+xd+bc \iff xc=xd. $$ Mivel $x \neq 0$, ebből következik, hogy $c=d$ (miért?), ami $(\ast)$ szerint azt jelenti, hogy $\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$.
$a \lt b$ Az előző esethez hasonlóan itt is levezethető, hogy $\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$.
$a = b$ Itt nem is kell semmit számolni: $(\ast)$ szerint $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$.

Ezzel beláttuk, hogy $(A;+,\cdot)/\!\sim$ valóban integritástartomány.

   Az $(A/\!\sim\,;+,\cdot)$ gyűrűt az egész számok gyűrűjének nevezzük, és ezentúl $\mathbb{Z}$-vel jelöljük.

A következő feladatunk gondoskodni arról, hogy az újonnan bevezetett számkör kibővítése legyen a korábbinak, azaz be kell ágyaznunk a természetes számok félgyűrűjét a az egész számok gyűrűjébe.

   Az alábbi $\varphi$ leképezés beágyazás: $$\varphi\colon\ (\mathbb{N}_0;+,\cdot) \to (\mathbb{Z};+,\cdot), \; n\mapsto \overline{(n,0)}.$$
   A beágyazás definíciója szerint az alábbiakat kell ellenőriznünk (a számolásokban mindenütt $n$ és $m$ tetszőleges természetes számok).
összeadással való felcserélhetőség $$n\varphi + m\varphi = \overline{(n,0)} + \overline{(m,0)} = \overline{(n,0)+(m,0)} = \overline{(n+m,\,0+0)} = \overline{(n+m,0)} = (n+m)\varphi$$
szorzással való felcserélhetőség $$n\varphi \cdot m\varphi = \overline{(n,0)} \cdot \overline{(m,0)} = \overline{(n,0)\cdot(m,0)} = \overline{(n \cdot m + 0 \cdot 0,\,n \cdot 0 + 0 \cdot m)} = \overline{(n\cdot m,0)} = (n\cdot m)\varphi$$
injektivitás $$n\varphi = m\varphi \iff \overline{(n,0)} = \overline{(m,0)} \iff (n,0)\sim(m,0) \iff n+0=0+m \iff n=m$$
   Az előző állítás szerint az $\overline{(n,0)}$ alakú elemek egy $\mathbb{N}_0$-lal izomorf részfélgyűrűt alkotnak a $\mathbb{Z}$ gyűrűben (a fenti $\varphi$ leképezés adja az izomorfizmust). Ezért a továbbiakban az $\overline{(n,0)}$ elemet azonosítjuk az $n$ természetes számmal. Ezzel elérjük, hogy $\mathbb{Z}$ nemcsak $\mathbb{N}_0$ egy izomorf másolatát, hanem magát $\mathbb{N}_0$-t tartalmazza, vagyis $\mathbb{N}_0$ részfélgyűrűje $\mathbb{Z}$-nek.

A következő állítás szerint $\mathbb{Z}$ konstrukciója „takarékos”, vagyis a természetes számok félgyűrűjét épp csak annyira bővítettük ki, amennyire muszáj, hogy gyűrűt kapjunk.

   Minden egész szám előáll két természetes szám különbségeként.
  

Az $\overline{(a,b)}$ egész szám előáll az $a=\overline{(a,0)}$ és $b=\overline{(b,0)}$ természetes számok különbségeként: $$\overline{(a,b)}=\overline{(a,0)} + \overline{(0,b)} = \overline{(a,0)} - \overline{(b,0)}=a-b.$$

Az egész számok rendezése

   A pozitív és a negatív egész számok halmazát a következőképp definiáljuk: $$\mathbb{Z}^+:=\Big\{ \overline{(n,0)} : n \in \mathbb{N} \Big\}, \qquad \mathbb{Z}^-:=\Big\{ \overline{(0,n)} : n \in \mathbb{N} \Big\}.$$
   Mivel az $\overline{(n,0)}$ egész számot azonosítottuk az $n$ természetes számmal, $\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}$. Továbbá, mivel $\overline{(0,n)}$ nem más, mint $\overline{(n,0)}$ additív inverze, $\mathbb{Z}^- = \{ -n : n \in \mathbb{N}\}$.
   $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{Z}^-$, és ez a három halmaz páronként diszjunkt.
  
diszjunktság Azt, hogy $0=\overline{(0,0)}$ se nem pozitív se nem negatív, már tulajdonképpen láttuk korábban: megfigyeltük, hogy $(a,b)\sim(0,0)\iff a=b$, tehát $\overline{(0,0)}\notin \mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^-$. A $\mathbb{Z}^+$ és $\mathbb{Z}^-$ halmazok diszjunktságának igazolásához tfh. $\overline{(n,0)}=\overline{(0,m)}$, ahol $n,m \in \mathbb{N}$. Ekkor $(n,0)\sim(0,m)$, azaz $n+m=0$. Ez pedig csak úgy lenne lehetséges, hogy $n=m=0$.
unió Azt kell igazolnunk, hogy minden $\overline{(a,b)}\in \mathbb{Z}$ elem benne van a három halmaz valamelyikében. Három esetet különböztetünk meg (felhasználva a természetes számok rendezésének dichotómiáját):

Most megmutatjuk, hogy a pozitív természetes számok meghatározzák $\mathbb{Z}$ egyetlen kompatibilis lineáris rendezését.

   Tetszőleges $a,b \in \mathbb{Z}$ esetén legyen $a \leq b$ akkor és csak akkor, ha $b-a \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$.
  
  1. A fent definiált rendezéssel $\mathbb{Z}$ lineárisan rendezett gyűrű.
  2. Ez az egyetlen kompatibilis lineáris rendezése az egész számok gyűrűjének.
  3. A $\mathbb{Z}$-n definiált rendezés kiterjesztése az $\mathbb{N}_0$-beli rendezésnek.
  
  1. Azt kell belátnunk, hogy a $\mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}=\mathbb{N}_0$ halmaz rendelkezik a (P0), (P+), (P·), (P−), (PLIN) tulajdonságokkal.
    (P0) Ez triviális.
    (P+) Ez világos: az $\mathbb{N}_0$ halmaz zárt az összeadásra.
    (P·) Ez is világos: az $\mathbb{N}_0$ halmaz zárt a szorzásra.
    (P−) Tfh. $k \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$ és $-k \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$. A második feltevésből következik, hogy $k \in \mathbb{Z}^- \cup \{ 0 \}$ (ugye?). Mivel a $\mathbb{Z}^+$, $\{ 0 \}$, $\mathbb{Z}^-$ halmazok páronként diszjunktak, ez csak $k\in \{ 0 \}$ esetén lehetséges, és épp ezt követeli meg a (P−) feltétel.
    (PLIN) Azt kell bizonyítanunk, hogy minden $k\in \mathbb{Z}$ esetén $k\in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$ vagy $-k\in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$. Ez ekvivalens azzal, hogy $k\in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$ vagy $k\in \mathbb{Z}^- \cup \{ 0 \}$ (ugye?), és ez valóban teljesül minden $k$ egész számra, mert $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{Z}^-$.
  2. Tfh. a $P \subseteq \mathbb{Z}$ halmaz rendelkezik a (P0), (P+), (P·), (P−), (PLIN) tulajdonságokkal; be fogjuk látni, hogy ekkor szükségképpen $P=\mathbb{N}_0$. A (PLIN) tulajdonság miatt $1 \in P$ vagy $-1 \in P$. Mivel $(-1) \cdot (-1) = 1$, a második esetben is azt kapjuk, hogy $1 \in P$, a (P·) tulajdonság alapján. Ebből következik, hogy ha egy $n$ természetes szám $P$-ben van, akkor $n+1=n'$ is $P$-ben van, hiszen a (P+) tulajdonság szerint $P$ zárt az összeadásra. A (P0) tulajdonság miatt $0$ is $P$-ben van, így a (TI) Peano-axióma garantálja, hogy $\mathbb{N}_0 \subseteq P$. (Pontosabban az $U := P \cap \mathbb{N}_0$ halmazra alkalmazhatjuk a (TI) axiómát, és azt kapjuk, hogy $U = \mathbb{N}_0$, ami épp azt jelenti, hogy $\mathbb{N}_0 \subseteq P$.) Beláttuk tehát, hogy minden nemnegatív egész szám $P$-ben van. Ha ezek után még egy negatív szám is $P$-ben lenne, az ellentmondana a (P−) tulajdonságnak (ugye?). Ezért $P$ pontosan a nemnegatív egész számok halmaza.
  3. Ideiglenesen használjuk a $\leq_{\mathbb{N_0}}$ és $\leq_{\mathbb{Z}}$ jelöléseket a természetes számokon, illetve az egész számokon értelmezett rendezési relációkra. Emlékeztetőül, ezek a következőképpen vannak definiálva: $$\forall a,b \in \mathbb{N_0}\colon\; a \leq_{\mathbb{N_0}} b \iff \exists x \in \mathbb{N}_0\colon\; b=a+x, \qquad \forall a,b \in \mathbb{Z}\colon\; a \leq_{\mathbb{Z}} b \iff b-a \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \} = \mathbb{N}_0.$$ Ha $a,b \in \mathbb{N_0}$, akkor ez a kettő ekvivalens; hogy ezt lássuk, nem kell mást tenni, mint $x$-szel jelölni a $b-a$ különbséget.